Question

在一場娛樂晚會上, 有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱, 由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手. 各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手, 其中觀眾甲是1號歌手的歌迷, 他必選1號, 不選2號, 另在3至5號中隨機選2名. 觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛, 因此在1至5號中隨機選3名歌手.

(Ⅰ) 求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和, 求X的分布列和數(shù)學期望.

Answer 1

解:(Ⅰ)  設(shè)事件A 表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手.

觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為.

所以P(A) = .

因此,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為

(Ⅱ)  X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,則X可取0,1,2,3.

觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙選中3號歌手的概率為.

當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時,這時X=0,P(X = 0) = .

當觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時,這時X=1,P(X = 1) = .

當觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時,這時X=2,P(X = 2) = .

當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時,這時X=3,P(X =3) = .

X的分布列如下表:

X	0	1	2	3
P

 

所以,數(shù)學期望