Question

12．已知函數f（x）=x³+3x對任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，則x∈（-2，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 先利用函數的奇偶性的定義判斷出函數的奇偶性，再由導數判斷出函數的單調性，利用奇偶性將不等式進行轉化，再利用單調性去掉不等式中的符號“f”，轉化具體不等式，借助一次函數的性質可得x的不等式組，解出可得答案．

解答 解：由題意得，函數的定義域是R，
且f（-x）=（-x）³+3（-x）=-（x³+3x）=-f（x），
所以f（x）是奇函數，
又f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）在R上單調遞增，
所以f（mx-2）+f（x）＜0可化為：f（mx-2）＜-f（x）=f（-x），
由f（x）遞增知：mx-2＜-x，即mx+x-2＜0，
則對任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，
等價于對任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2x+x-2＜0}\\{2x+x-2＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
即x的取值范圍是（-2，$\frac{2}{3}$），
故答案為：（-2，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查恒成立問題，函數的奇偶性與單調性的綜合應用，考查轉化思想，以及學生靈活運用知識解決問題的能力．