Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2+

n

an

（n∈N^*），求證：a_n＜1+

n+1

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：把已知的數(shù)列遞推式變形，把要證的不等式轉化為證an+1＞

n+1

+1，然后利用數(shù)學歸納法證明．

解答： 證明：由a_n+1=2+

n

an

，得an=

n

an+1-2

，
要證a_n＜1+

n+1

，即證

n

an+1-2

＜1+

n+1

=

n

n+1 -1

，
∵a₁=2，a_n+1=2+

n

an

，∴a_n+1-2＞0，
也就是證an+1＞

n+1

+1．
下面用數(shù)學歸納法證明：
當n=1時，a₁=2，a2=2+

1

a1

=3＞

1+1

+1，結論成立；
假設當n=k時結論成立，即ak＜1+

k+1

，
那么，當n=k+1時，ak+1=2+

k

ak

＞2+

k

1+ k+1

=2+

k( k+1 -1)

k

=

k+1

+1．
當n=k+1時結論成立．
綜上所述，對于任意的n∈N^*結論成立．
∴a_n＜1+

n+1

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題，解答此題的關鍵在于把要證的不等式轉化為證an+1＞

n+1

+1，難度較大．