Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CC₁的中點，求異面直線AE和BF所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：

分析：利用異面直線所成角的定義，將直線BF平移到EC₁，則∠AEC₁為異面直線AE和BF所成角，在△AEC₁中，求出三邊長，利用余弦定理能求出結果．

解答： 解：連結EC₁，則EC₁∥BF，
∴∠AEC₁為異面直線AE和BF所成角（或所成角的補角），
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
在△AEC₁中，AE=EC₁=

5

2

a，AC₁=

3

a，
∴cos∠AEC₁=

2×( 5 2 a)2-( 3 a)2

2× 5 2 a× 5 2 a

=-

1

5

．
∴異面直線AE和BF所成角的余弦值為

1

5

．

點評：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．