Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n．求證：
（1）數(shù)列{

Sn

n

}成等比；
（2）S_n+1=4a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=

n+2

n

S_n，知S_n-S_n-1=

nan+1

n+2

-

(n-1)an

n+1

，從而

2an

n+1

=

an+1

n+2

，進(jìn)而

2Sn-1

n-1

=

Sn

n

，（n≥2），由此能證明{

Sn

n

}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知S_n=n•2^n-1，a_n=（n+1）•2^n-2．由此能證明S_n+1=（n+1）•2ⁿ=4a_n．

解答： 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n，
∴S_n=

nan+1

n+2

，S_n-1=

(n-1)an

n+1

，n≥2
∴a_n=S_n-S_n-1=

nan+1

n+2

-

(n-1)an

n+1

，
即2n×

an

n+1

=

nan+1

n+2

，
∵n≠0，∴

2an

n+1

=

an+1

n+2

，
∴

2Sn-1

n-1

=

Sn

n

，（n≥2）
即

Sn

n

：

Sn-1

n-1

=2，
n=1時，

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）∵{

Sn

n

}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴

Sn

n

=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1，
∴a_n+1=

n+2

n

S_n=n•2n-1×

n+2

n

=（n+2）•2^n-1，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．
∴S_n+1=（n+1）•2ⁿ=4a_n．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查S_n+1=4a_n的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用，是中檔題．