Question

定義在實數(shù)集R上奇函數(shù)f（x）的最小正周期為20，在區(qū)間（0，10）內(nèi)方程f（x）=0有且僅有一個解x=3，則方程f（

x

4

+3）=0在[-100，400]上不同的解的個數(shù)為（　　）

• A、20
• B、25
• C、26
• D、27

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用換元法令t=

x

4

+3，從而求出t的范圍，再計算出每個周期上的零點個數(shù)，求出即可．

解答： 解：令t=

x

4

+3，
∵x=4t-12∈[-100，400]，
∴t∈[-22，103]，
而[103-（-22）]÷20=6…5，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為20的奇函數(shù)及f（3）=0，
∴f（0）=0，f（3）=-f（-3）=0，
f（-3+20）=f（17）=0，
∴在[0，20）上函數(shù)f（x）共有0，3，10，17四個零點，
∴在[-17，103）上共6×4=24個零點，
又∴f（-20）=f（-20+20）=f（0）=0，
f（103）=f（3+20×5）=f（3）=0，
∴在[-22，-17）上有1個零點，103也是一個零點，
∴在[-22，103]上共24+2=26個零點，
故選：C．

點評：本題考察了函數(shù)的零點問題、函數(shù)的奇偶性、周期性，滲透了換元思想，屬中檔題．