Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（Ⅰ）已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且g（x）=

f′(x)

x

（x≠0）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），得到g（x）的表達(dá)式，再由奇函數(shù)的定義，即可得到a；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，得到極值，令極小值點(diǎn)為2，解出a，進(jìn)而得到單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
故 g(x)=

f′(x)

x

=x+

a2+a

x

-(2a+1)，x≠0，
∵g(x)=

f′(x)

x

(x≠0)為奇函數(shù)，
∴?x≠0，g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

；                                
（Ⅱ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
列表如下：

x	（-∞，a）	（a，a+1）	（a+1，+∞）
f'（x）	+	-	+

∴f（x）在x=a+1處取得極小值，在x=a處取得極大值，
由題設(shè)a+1=2，∴a=1；              
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，考查求導(dǎo)的運(yùn)算能力，屬于中檔題．