Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…）．

(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

(Ⅱ)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)求證：對任意正整數(shù)n，都有．

Answer 1

(Ⅰ)函數(shù)在處取得極小值，函數(shù)無極大值．(Ⅱ) (Ⅲ)證明略

【解析】

試題分析：第一步把代入函數(shù)解析式，，求極值要先求導(dǎo)數(shù)，，令，求出極值點，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出極小值；第二步，求導(dǎo)數(shù)，下面針對進(jìn)行討論，由于恒成立，只需的最小值大于或等于零，最后求實數(shù)a的取值范圍；

第三步依據(jù)第二步的結(jié)論，令，則，有，令()，得，

把從取---時的n個不等式相加，之后用放縮法證明出結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ) 當(dāng)時，，，

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在處取得極小值，函數(shù)無極大值．

(Ⅱ)由，，

若，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x趨近于負(fù)無窮大時，趨近于負(fù)無窮大；當(dāng)x趨近于正無窮大時，趨近于正無窮大，故函數(shù)存在唯一零點，當(dāng)時，；當(dāng)時，．故不滿足條件．

若，恒成立，滿足條件．

若，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，由得，解得．

綜上，滿足恒成立時實數(shù)a的取值范圍是．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當(dāng)時，恒成立，所以恒成立，

即，所以，令()，得，

則有，

所以，所以，即．

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求極值；2.利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；本題是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；