Question

（2013•梅州一模）已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)，其中F₁也是拋物線C₁：x²=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C₁與C₂在第二象限的交點(diǎn)，且|MF1|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓C₁相交于點(diǎn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線的定義和點(diǎn)M在拋物線上即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；利用點(diǎn)M在橢圓C₁上滿足橢圓的方程和c²=a²-b²即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，由點(diǎn)F滿足4

x

2 2

+3

y

2 2

=12，及S△BOE=S△BOF=

1

2

×2x2，S△AOF=S△AOE=

1

2

×

3

y2，故四邊形AEBF的面積S=S_△BEF
+S_△AEF=2x2+

3

y2=

(2x2+ 3 y2)2

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）由拋物線C₁：x²=4y的焦點(diǎn)，得焦點(diǎn)F₁（1，0）．
設(shè)M（x₀，y₀）（x₀＜0），由點(diǎn)M在拋物線上，
∴|MF1|=

5

3

=y0+1，

x

2 0

=4y0，解得y0=

2

3

，x0=-

2 6

3

．
而點(diǎn)M在橢圓C₁上，∴

( 2 3 )2

a2

+

(- 2 6 3 )2

b2

=1，化為

4

9a2

+

8

3b2

=1，
聯(lián)立

c2=1=a2-b2 4 9a2 + 8 3b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
故橢圓的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）由（1）可知：|AO|=

3

，|BO|=2．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，
把y=kx代人

y2

4

+

x2

3

=1，可得x2=-x1=

2 3

3k2+4

，x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且4

x

2 2

+3

y

2 2

=12．
S△BOE=S△BOF=

1

2

×2x2，S△AOF=S△AOE=

1

2

×

3

y2，
故四邊形AEBF的面積S=S_△BEF+S_△AEF=2x2+

3

y2=

(2x2+ 3 y2)2

=

4 x 2 2 +3 y 2 2 +4 3 y1y2

≤

4 x 2 2 +3 y 2 2 +2× (2x2)2+( 3 y2)2 2

=2

6

．
當(dāng)且僅當(dāng)2x2=

3

y2時(shí)上式取等號(hào)．
∴四邊形AEBF面積的最大值為2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積計(jì)算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．