Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：①a₁=1；②所有項a_n∈N^*；③1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜a_n+1＜…設(shè)集合A_m={n|a_n≤m，m∈N^*}，將集合A_m中的元素的最大值記為b_m．換句話說，b_m是數(shù)列{a_n}中滿足不等式a_n≤m的所有項的項數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列{b_n}為數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．
（1）若數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列{a_n}；
（2）設(shè)a_n=3^n-1，求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}的前100之和；
（3）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

3

2

n2-

1

2

n+c（其中c常數(shù)），試求數(shù)列{a_n}的伴隨數(shù)列{b_n}前m項和T_m．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列{a_n}；
（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得：n≤1+log3m  (m∈N*)，由對數(shù)的運算對m分類討論求出伴隨數(shù)列{b_n}的前100項以及它們的和；
（3）由題意和a_n與S_n的關(guān)系式求出a_n，代入a_n≤m得n≤

m+2

3

   (m∈N*)，并求出伴隨數(shù)列{b_m}的各項，再對m分類討論，分別求出伴隨數(shù)列{b_m}的前m項和T_m．

解答： 解：（1）1，4，7．                                    

（2）由an=3n-1≤m，得n≤1+log3m  (m∈N*)
∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N^*時，b₁=b₂=1，
當(dāng)3≤m≤8，m∈N^*時，b₃=b₄=…=b₈=2，
當(dāng)9≤m≤26，m∈N^*時，b₉=b₁₀=…=b₂₆=3，
當(dāng)27≤m≤80，m∈N^*時，b₂₇=b₂₈=…=b₈₀=4，
當(dāng)81≤m≤100，m∈N^*時，b₈₁=b₈₂=…=b₁₀₀=5，
∴b₁+b₂+…+b₁₀₀=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．

（3）∵a₁=S₁=1+c=1∴c=0，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-2
∴an=3n-2  (n∈N*)…（2分）
由a_n=3n-2≤m得：n≤

m+2

3

   (m∈N*)
因為使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，
所以  b1=b2=b3=1，b4=b5=b6=2，…，b3t-2=b3t-1=b3t=t   (t∈N*)，
當(dāng)m=3t-2（t∈N^*）時：Tm=3•

1+(t-1)

2

•(t-1)+t=

3t2-t

2

=

1

6

(m+1)(m+2)，
當(dāng)m=3t-1（t∈N^*）時：Tm=3•

1+(t-1)

2

•(t-1)+2t=

3t2+t

2

=

1

6

(m+1)(m+2)，
當(dāng)m=3t（t∈N^*）時：Tm=3•

1+t

2

•t=

3(t2+t)

2

=

1

6

m(m+3)，
所以Tm=

(m+1)(m+2) 6 ，m=3t-2或m=3t-1 m(m+3) 6 ，m=3t

（其中t∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點，是難題．