Question

一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中M，N分別是AB，SA的中點(diǎn)．
（1）求直線NB與MC所成的角；
（2）求平面SAD與平面SMC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由

CM

•

BN

=0，利用向量法求出直線NB與MC所成的角為90⁰．
（2）求出平面SAD的一個(gè)法向量和平面SMC的法向量，由此利用向量法能求出平面SAD與平面SMC所成角的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，1，0），S（0，0，2），…（1分）
M（1，

1

2

，0），N（

1

2

，0，1）
∴

CM

=（1，-

1

2

，0），

BN

=（-

1

2

，-1，1），…（3分）
∴

CM

•

BN

=1×（-

1

2

）+（-

1

2

）×（-1）+0×1=0，
∴

CM

⊥

BN

，∴直線NB與MC所成的角為90⁰．…（6分）
（2）解：由題意平面SAD的一個(gè)法向量是

DC

=（0，1，0），…（5分）
設(shè)平面SMC的法向量為

n

=（a，b，c），
又

SM

=（1，

1

2

，-2），

SC

=（0，1，-2），
∴

n • SM =a+ 1 2 b-2c=0 n • SC =b-2c=0

，
令c=1，則b=2，a=1，故取

n

=（1，2，1），…（8分）
于是cos＜

DC

，n＞=

n • m

| n |•| m |

=

2

6

=

6

3

．
故平面SAD與平面SMC所成角的余弦值為

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線角的求法，二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．