Question

已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)與圓C：x²＋y²－2x－4y－20＝0．

(1)求證：對任意實數(shù)m，l與圓C總有兩個交點A、B．

(2)當|AB|取得最小值時，求l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：圓的方程化為標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25． 　　(1)常規(guī)思路只須證圓心C(1，2)到直線l的距離恒小于半徑即可．但注意到直線l的方程可變形為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，可知l恒過定點(3，1)．而(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25， 　　∴點(3，1)在圓內(nèi)．∴不論m取何實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點A、B． 　　(2)由(1)知，直線l過定點M(3，1)，且與過M和C的直線垂直時，l被圓截得的弦長|AB|最短．∵，r＝5．∴|AB|＝2×．此時，l的斜率，即．∴．代入可得l的方程為2x－y－5＝0．

提示：

(1)欲證l與圓C總有兩個交點，只需證圓心到直線l的距離小于半徑即可．或只需確定l恒過圓內(nèi)一點；(2)弦AB最小時，即直線l與弦心距所在直線互相垂直時．