Question

在平面四邊形ACPE中（如圖1），D為AC的中點(diǎn)，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，現(xiàn)將此平面四邊形沿PD折起使二面角A-PD-C為直二面角，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn)，并且ABCD為正方形，設(shè)F，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：面EGH∥面ADPE；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得面FGM⊥面PEB？若存在，求線段PM的長；若不存在，請說明理由

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件得FH∥BC、FG∥PE，從而FH∥AD，由此能證明面FGH∥面ADPE．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用微量 法能求出在線段PC上存在一點(diǎn)M，線段PM=

6

7

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)F、G、H分別為PB、EB、PC的中點(diǎn)，
∴FH、FG分別為△PBC、△PBE的中位線，
∴FH∥BC、FG∥PE，
又正方形ABCD中，BC∥AD，∴FH∥AD，
又FH∩FG=F，PE?面ADPE，AD?面ADPE，
∴面FGH∥面ADPE．…（5分）
（Ⅱ）∵二面角A-PD-C為直二面角，
又PD⊥AD，PD⊥CD，
∴AD⊥CD，
如圖建系，則有P（0，0，2），E（2，0，1），
B（2，2，0），F(xiàn)（1，1，1），G（2，1，

1

2

），
則

PE

=(2，0，-1)，

PB

=(2，2，-2)，
設(shè)面PEB的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PE =2x-z=0 n • PB =2x+2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2），…（7分）
設(shè)M（0，m，2-m），則

FG

=(1，0，-

1

2

)，

FM

=(-1，m-1，1-m)，
設(shè)面FGM的法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m • FG =a- 1 2 c=0 m • FM =-a+(m-1)b+(1-m)c=0

，
取a=1，得

m

=(1，

2m-1

m-1

，2)，…（9分）
由面FGM⊥面PEB，得

n

•

m

=1+

2m-1

m-1

+4=0，解得m=4，…（11分）
∴在線段PC上存在一點(diǎn)M，線段PM=

6

7

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面平行的證明，考查使得面面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．