Question

從數(shù)列{a_n}中抽出一些項(xiàng)，依原來(lái)的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列{a_n}的一個(gè)子列．
（Ⅰ）寫出數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）設(shè){a_n}是無(wú)窮等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公比為q．求證：當(dāng)0＜q＜1時(shí)，數(shù)列{a_n}不存在是無(wú)窮等差數(shù)列的子列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出數(shù)列{3n-1}中的2，8，32是一個(gè)等比數(shù)列，由此利用觀察法能求出數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列為{2^2n-1}．
（Ⅱ）假設(shè)存在是等差數(shù)列的子列{b_n}，推導(dǎo)出{b_n}也為遞減數(shù)列且b_n∈（0，1]，d＜0，由此得到b_n＜0，這與b_n∈（0，1]矛盾．從而證明數(shù)列{a_n}不存在是無(wú)窮等差數(shù)列的子列．

解答： （Ⅰ）解：數(shù)列{3n-1}中的2，8，32是一個(gè)等比數(shù)列，
∵a1=2=22×1-1，
a2=8=22×2-1，
a₃=32=2^2×3-1，
由此猜想an=22n-1，
∴數(shù)列{3n-1}的一個(gè)是等比數(shù)列的子列為{2^2n-1}．
（若只寫出2，8，32三項(xiàng)．給滿分）．（5分）
（Ⅱ）證明：假設(shè)存在是等差數(shù)列的子列{b_n}，
∵a₁=1，0＜q＜1，
∴an=qn-1∈(0，1]，且數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，
∴{b_n}也為遞減數(shù)列且b_n∈（0，1]，d＜0，
令b₁+（n-1）d＜0，得n＞1-

b1

d

＞1，
即存在n∈N^*（n＞1），使得b_n＜0，這與b_n∈（0，1]矛盾．
∴數(shù)列{a_n}不存在是無(wú)窮等差數(shù)列的子列．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的子列的求法，考查數(shù)列{a_n}不存在是無(wú)窮等差數(shù)列的子列的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．