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7.已知橢圓4x2+y2=1及l(fā):y=x+m.
(1)當(dāng)m為何值時,直線l與橢圓有公共點?
(2)若直線l被橢圓截得的弦長為425,求直線l方程.

分析 (1)把直線y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0,利用△≥0,即可得出.
(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得弦長,就看得出.

解答 解:(1)把直線y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2-1=0,①
∴△=4m2-20(m2-1)=-16m2+20≥0,52m52
(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,
由①得{x1+x2=2m5x1x2=m215,
x1+x224x1x2=2m524m215=16m2+2025
|AB|=1+k2[x1+x224x1x2]=2×16m2+2025=425,
解得m=±12
∴所求直線方程為y=x±12

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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