Question

17．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，計算f（$\frac{π}{3}$）的值即可；
（Ⅱ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，即可求出它的最小正周期與單調遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x，
∴f（$\frac{π}{3}$）=cos（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）-cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
由y=sinx的單調遞增區(qū)間是[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$；
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．