Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求f（x）的對稱軸x=-a，所以若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[-5，5]在對稱軸的一邊，所以得到-a≤-5，或-a≥5，這樣即得到了a的取值范圍；
（2）討論對稱軸和區(qū)間[-5，5]的關(guān)系，分成：-a≥5，-5＜-a＜5，-a≤-5這三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得定點(diǎn)的情況求出每種情況下的f（x）的最小值g（a），最后把g（a）分段寫出即可．

解答： 解：（1）f（x）對稱軸為x=-a；
若f（x）在[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則區(qū)間[-5，5]在對稱軸x=-a的一側(cè)；
那么-a≤-5或-a≥5，即a≥5，或a≤-5；
（2）當(dāng)-a≥5，即a≤-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上為減函數(shù)，則g（a）=f（5）=27+10a；
當(dāng)-5＜-a＜5，即-5＜a＜5時(shí)，則g（a）=f（-a）=2-a²；
當(dāng)-a≤-5，即a≥5時(shí)，f（x）在[-5，5]上為增函數(shù)，則g（a）=f（-5）=27-10a；
綜上所述：g（a）=

27+10a a≤-5 2-a2 -5＜a＜5 27-10a a≥5

．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的對稱軸，以及二次函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)：即在對稱軸的一邊具有單調(diào)性，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求二次函數(shù)的最小值．