Question

已知函數(shù)f（x）=a|x+1|-b|2x-4|（a，b∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=

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時(shí)，解不等式f（x）≤0
（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，若函數(shù)f（x）既存在最小值，也存在最大值．求所有滿足條件的實(shí)數(shù)a的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,絕對(duì)值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)a=1，b=

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，轉(zhuǎn)化不等式f（x）≤0為二次不等式，求解即可．
（Ⅱ）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)有最值，列出方程求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|-|x-2|，
由f（x）≤0得|x+1|≤|x-2|?x²+2x+1≤x²-4x+4?x≤

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，
所以所求不等式的解集為(-∞，

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]．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，f(x)=

(a-2)x+a+4，x≥2 (a+2)x+a-4，-1＜x＜2 (2-a)x-a-4，x≤-1

因?yàn)閒（x）既存在最大值，也存在最小值，
所以a-2=0，所以a=2
所以a的取值集合為{2}．…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．