Question

已知圓O：x²+y²=4，點A（

3

，0），以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O，記點B的軌跡為Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）直線AB交圓O于C，D兩點，當(dāng)B為CD的中點時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)AB的中點為M，切點為N，連OM，MN，通過|OM|+|MN|=|ON|=2，推出|OM|+|MN|=4．說明點B的軌跡是以A′，A為焦點，長軸長為4的橢圓．然后求解曲線Γ的方程．
（Ⅱ）推出OB⊥CD，設(shè)B（x₀，y₀），然后利用直線與橢圓方程聯(lián)立求出B的坐標(biāo)，即可求解直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AB的中點為M，切點為N，連OM，MN，則|OM|+|MN|=|ON|=2，取A關(guān)于y軸的對稱點A′，連A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OM|+|MN|）=4．
所以點B的軌跡是以A′，A為焦點，長軸長為4的橢圓．
其中，a=2，c=

3

，b=1，則曲線Γ的方程為

x2

4

+y²=1． 

（Ⅱ）因為B為CD的中點，所以O(shè)B⊥CD，
則

OB

⊥

AB

．設(shè)B（x₀，y₀），
則x₀（x₀-

3

）+y

2 0

=0． 
又

x 2 0

4

+y

2 0

=1 
解得x₀=

2

3

，y₀=±

2

3

．
則k_OB=±

2

2

，k_AB=?

2

，
則直線AB的方程為y=±

2

（x-

3

），
即x-y-

6

=0或

2

x+y-

6

=0．

點評：本題考查軌跡方程的求法，判斷軌跡的橢圓簡化解題的過程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．