Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=3，S_m=15，S_m+1=24（m∈N^*）．
（1）求m的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

Sn

，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n+1=S_n+1-S_n=9，從而利用前n項(xiàng)和公式求出m=3，再由通項(xiàng)公式求出d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得S_n=n²+2n，bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）∵a₁=3，S_m=15，S_m+1=24（m∈N^*），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=9，
由Sm+1=

(m+1)(a1+am+1)

2

，得m=3，
設(shè){a_n}的公差為d，由a_m+1=a₁+md，得d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1．
（2）由（1）得S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∴T_n＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．