Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距的2倍，且過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若斜率為1的直L與橢圓交于不同兩點(diǎn)A．B，求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線L的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，從而得到

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，從而求出a，b，c；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b，與橢圓方程聯(lián)立消元得7x²+8bx+4b²-12=0，從而求出-

7

＜b＜

7

；再由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的距離公式求|AB|的長(zhǎng)度，再求點(diǎn)O到直線AB的距離，從而寫(xiě)出△AOB的面積S，
利用基本不等式求最值及最值點(diǎn)．從而得到直線L的方程．

解答： 解：（1）由題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則可得，

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，
解得，c=1，a=2，b=

3

；
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線L的方程為y=x+b；
則與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立消y可得，
7x²+8bx+4b²-12=0，
△=（8b）²-4×7×（4b²-12）＞0，
解得-

7

＜b＜

7

；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理可得，
x₁+x₂=

-8b

7

，x₁x₂=

4b2-12

7

；
故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64b2 49 -4 4b2-12 7

=

4 3

7

7-b2

；
故|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 6

7

7-b2

；
點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|b|

2

；
故△AOB的面積S=

1

2

×

4 6

7

7-b2

×

|b|

2

=

2 3

7

(7-b2)b2

≤

2 3

7

•

7-b2+b2

2

=

3

；
（當(dāng)且僅當(dāng)7-b²=b²，即b=±

14

2

時(shí)，等號(hào)成立）；
故此時(shí)直線L的方程為：
y=x±

14

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的求法及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及形成的圖象的面積問(wèn)題，屬于難題．