Question

2．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，它在點(diǎn)$M（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$處的切線為直線l．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知點(diǎn)P為橢圓$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}$=1上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程與普通方程的互化求解即可．
（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，
∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=$\frac{1}{2}$x²，
∴y′=x，又M（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）的直角坐標(biāo)為（2，2），
∴曲線C在點(diǎn)（2，2）處的切線方程為y-2=2（x-2），
即直線l的直角坐標(biāo)方程為：2x-y-2=0． …（5分）
（2）P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上一點(diǎn)，設(shè)P（$\sqrt{3}$cosα，2sinα），
則P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（α-\frac{π}{3}）+2|}{\sqrt{5}}$，
當(dāng)sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$時(shí)，d有最小值0．
當(dāng)sin（α-$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，d有最大值$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴P到直線l的距離的取值范圍為：[0，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$]．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．