分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(lna+x)-f(lna-x)(x>0),求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)的單調(diào)性,從而證出結(jié)論.
解答 (Ⅰ)解:∵f′(x)=ex-a,
若a≤0,必有f′(x)=ex-a>0,
即f(x)在R遞增,不可能有2個(gè)零點(diǎn),
∴a>0,
令f′(x)=ex-a>0,解得:x>lna,
令f′(x)<0,解得:x<lna,
∴f(x)在(-∞,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增,
∴f(x)≥f(lna)=a-alna,
要使f(x)=ex-ax有2個(gè)零點(diǎn),
必有a-alna<0,解得:a>e;
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得:x0=lna,(a>e),
設(shè)g(x)=f(lna+x)-f(lna-x)(x>0)
=[elna+x-a(lna+x)]-[elna-x-a(lna-x)]
=a(ex-e-x-2x),
g′(x)=a(ex+e-x-2)≥2a$\sqrt{{e}^{x}{•e}^{-x}}$-2a=0,
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)“=”成立,
但x>0,故g′(x)>0,
即g(x)在(0,+∞)遞增,
當(dāng)x>0時(shí),恒有g(shù)(x)>g(0)=0,
即不等式f(x0+x)>f(x0-x)恒成立.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性零點(diǎn)問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {-1,0,1,2,3} | B. | {0,1,2,3} | C. | {1,2,3} | D. | {2,3} |
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A. | n | B. | 2n | C. | 3n | D. | 4n |
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A. | 銳角三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 鈍角三角形 | D. | 任意三角形 |
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