Question

6．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3}=1（a＞0）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作x軸垂直的直線交雙曲線C于A、B兩點，△F₁AB的面積為12，拋物線E：y²=2px（p＞0）以雙曲線C的右頂點為焦點．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）如圖，點$P（{-\frac{P}{2}，t}）（{t≠0}）$為拋物線E的準線上一點，過點PM
作y軸的垂線交拋物線于點，連接PO并延長交拋物線于點N，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設F₂（c，0），由令x=c代入C的方程有：$|{y_A}|=\frac{3}{a}$，求出A的縱坐標，代入三角形面積公式求得c，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐標，寫出直線PO的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得N的坐標，當t²≠4時，寫出MN所在直線方程，化簡后說明直線MN過定點（1，0），當t²=4時，直線MN的方稱為：x=1，此時仍過點（1，0）．

解答 （Ⅰ）解：設F₂（c，0）（c＞0），則$c=\sqrt{{a^2}+3}$
令x=c代入C的方程有：$|{y_A}|=\frac{3}{a}$
∴${S_{△{F_1}AB}}=\frac{1}{2}×2c×2|{y_A}|=\frac{{6\sqrt{{a^2}+3}}}{a}=12$
∴a=1，故$\frac{p}{2}=a=1$，即p=2
∴拋物線E的方稱為：y²=4x
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：P（-1，t）（t≠0），則$M（{\frac{t^2}{4}，t}）$
直線PO的方稱為y=-tx，代入拋物線E的方程有：$N（{\frac{4}{t^2}，-\frac{4}{t}}）$
當t²≠4時，${k_{MN}}=\frac{{t+\frac{4}{t}}}{{\frac{t^2}{4}-\frac{4}{t^2}}}=\frac{4t}{{{t^2}-4}}$
∴直線MN的方程為：$y-t=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-\frac{t^2}{4}}）$，即$y=\frac{4t}{{{t^2}-4}}（{x-1}）$
∴此時直線MN過定點（1，0）
當t²=4時，直線MN的方稱為：x=1，此時仍過點（1，0）
即證直線MN過定點

點評 本題考查雙曲線與拋物線的簡單性質，考查了雙曲線與拋物線關系的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．