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【題目】在平面直角坐標系中，的頂點，，且、、成等差數列.

（1）求的頂點的軌跡方程；

（2）直線與頂點的軌跡交于兩點，當線段的中點落在直線上時，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

【答案】（1）（2）恒過定點；定點

【解析】

（1）由正弦定理，結合橢圓定義，即可容易求得軌跡方程；

（2）聯立直線方程和橢圓方程，由韋達定理求得中點的坐標，根據其縱坐標為，即可求得的等量關系，再求出直線垂直平分線的方程，再求直線恒過的定點即可.

（1）在中，，

根據正弦定理，可得，且，

由橢圓定義，可知頂點的軌跡為中心在原點，

以為焦點的橢圓（不包括與軸交點）.

，，，

軌跡方程為.

（2）設，，

由，得，

，

，，

點落在直線上，

，，

，，

線段的垂直平分線方程為，即，

線段的垂直平分線恒過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數的莖葉圖如圖，則下面結論中錯誤的一個是(　　)

A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數是24

C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數是21

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，P為的中點．

（1）證明：平面；

（2）設E為BC的中點，線段上是否存在一點Q，使得平面？若存在，求四棱錐的體積；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在寬為的路邊安裝路燈，燈柱高為，燈桿是半徑為的圓的一段劣�。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂到路面的距離為，到燈柱所在直線的距離為．設為燈罩軸線與路面的交點，圓心在線段上．

（1）當為何值時，點恰好在路面中線上?

（2）記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】足球比賽中，一隊在本方罰球區(qū)內犯規(guī)，會被判罰點球，點球是進攻方非常有效的得分手段.研究機構對某位足球隊員的1000次點球訓練進行了統(tǒng)計分析，以幫助球員提高點球的命中率.如圖，將球門框內的區(qū)域分成9個區(qū)域（區(qū)域代碼為1—9，球門框外的區(qū)域記做區(qū)域0），統(tǒng)計球員射點球時射中10個區(qū)域次數和進球次數（即使射中球門框內，也可能被守門員撲出），得到如下的兩個頻率分布條形圖：

（其中射中率，得分率）

（1）根據上述頻率分布條形圖，求射中球門框內時，各區(qū)域進球數的平均數（結果保留兩位小數）和中位數；

（2）以該隊員這1000次點球練習的進球頻率作為他在比賽中射點球時進球的概率，設他在三次射點球時進球數為，求的分布列和期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證:平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：

購票人數

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）

A.20B.30C.35D.40

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【題目】某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用表示活動推出的天數，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數據如表1所示：

表1：

1

2

3

4

5

6

7

6

11

21

34

66

101

196

根據以上數據，繪制了散點圖.

（1）根據散點圖判斷，在推廣期內，與（均為大于零的常數）哪一個適宜作為掃碼支付的人次關于活動推出天數的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）.

（2）根據（1）的判斷結果及表1中的數據，建立關于的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.

（3）推廣期結束后，為更好的服務乘客，車隊隨機調查了100人次的乘車支付方式，得到如下結果：

表2

支付方式

現金

乘車卡

掃碼

人次

10

60

30

已知該線路公交車票價2元，使用現金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據調査結果發(fā)現：使用掃碼支付的乘客中有5名乘客享受7折優(yōu)惠，有10名乘客享受8折優(yōu)惠，有15名乘客享受9折優(yōu)惠.預計該車隊每輛車每個月有1萬人次乘車，根據所給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費標準，試估計該車隊一輛車一年的總收入.

參考數據：

62.14

1.54

2535

50.12

3.47

其中.

參考公式：

對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某連鎖超市旗艦店在元旦當天推出一個購物滿百元抽獎活動，凡是一次性購物滿百元者可以從抽獎箱中一次性任意摸出2個小球（抽獎箱內共有5個小球，每個小球大小形狀完全相同，這5個小球上分別標有1，2，3，4，5 這5個數字）.

（1）列出摸出的2個小球的所有可能的結果.

（2）已知該超市活動規(guī)定：摸出的2個小球都是偶數為一等獎；摸出的2個小球都是奇數為二等獎.請分別求獲得一等獎的概率與獲得二等獎的概率.

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