Question

已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；
（3）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

（1）是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的最小值為0；當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為.

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再按用導(dǎo)數(shù)法求極值的步驟求解；（2）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)斜式寫出切線的方程，由點(diǎn)在切線上求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得切線的方程；（3）.
試題解析：（1），，，令，則.
當(dāng)，，，，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在.
（2）由直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，而不在的圖象上，
設(shè)切點(diǎn)為，直線的斜率，方程為，
又在直線上，，解得，
故直線的方程為.
（3）依題意，，，，令，則，
所以當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；
又，所以①當(dāng)，即時(shí)，的極小值為；②當(dāng)，即時(shí)，的極小值為；③當(dāng)，即時(shí)，的極小值為.
故①當(dāng)時(shí)，的最小值為0；②當(dāng)時(shí)，的最小值為；③當(dāng)時(shí)，的最小值為.