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9.已知函數(shù)f(x)=(2log4x-2)(log4x-12),
(1)當(dāng)x∈[2,4]時,求該函數(shù)的值域;
(2)求f(x)在區(qū)間[2,t](t>2)上的最小值g(t).

分析 (1)令m=log4x,則可將函數(shù)在x∈[2,4]時的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域問題;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和對稱軸,分類討論即可求出最小值.

解答 解:(1)令m=log4x,x∈[2,4]時,則m∈[12,1],
則f(t)=(2m-2)(m-12)=2m2-3m+1=2(m-342-18,
當(dāng)m=34時,有最小值為-18,
當(dāng)m=12或1時,有最大值為0,
∴該函數(shù)的值域為[-18,0],
(2)由(1)可知f(m)=2m2-3m+1=2(m-342-18,
∵x∈[2,t],
∴m∈[12,log4t],
當(dāng)12≤m<34時,即2≤t<22時,函數(shù)f(t)在[12,log4t],單調(diào)遞減,
g(t)=f(t)min=f(log4t)=2log42t-3log4t+1
當(dāng)m≥34時,即t≥22時,函數(shù)f(t)在[12,34]上單調(diào)遞減,
在(34,log4t]單調(diào)遞增,g(t)=f(t)min=f(34)=-18,
綜上所述:g(t)={2log24t3log4t+12t2218t22

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合應(yīng)用,難度中檔

練習(xí)冊系列答案
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