Question

8．設函數f（x）=x²-aln（x+2），且f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）證明不等式：$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}+1＜0$．

Answer 1

分析 （I）求導，由題意可知：2x²+4x-a=0在（-2，+∞）內有兩個不相等實根，構造輔助函數，利用函數的性質，即可求得實數a的取值范圍；
（II）由（I）可知，利用韋達定理，則$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-aln（{x_1}+2）}}{x_2}={x_2}+\frac{4}{x_2}-2（{x_2}+2）ln（-{x_2}）+4$，構造輔助函數．利用導數求得函數的單調區(qū)間，則F（x）＜F（1）=-1，即$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＜-1$．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$f'（x）=2x-\frac{a}{x+2}（x＞-2）$，-----------------（1分）
∵函數f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴關于x的方程$2x-\frac{a}{x+2}=0$，
即2x²+4x-a=0在（-2，+∞）內有兩個不相等實根．--------------（2分）
令φ（x）=2x²+4x-a，
則$\left\{{\begin{array}{l}{△=16+8a＞0}\\{φ（-2）＞0}\end{array}}\right.$-----------------------------------------（3分）
解得-2＜a＜0．所以，實數a的取值范圍（-2，0）．-------------（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}{x_2}=-\frac{a}{2}}\\{{x_1}+{x_2}=-2}\\{-1＜{x_2}＜0}\end{array}}\right.$
∴$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=\frac{{x_1^2-aln（{x_1}+2）}}{x_2}={x_2}+\frac{4}{x_2}-2（{x_2}+2）ln（-{x_2}）+4$，---------（10分）
令-x₂=x，則0＜x＜1，且$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}=-x-\frac{4}{x}+2（x-2）lnx+4$，
令$F（x）=-x-\frac{4}{x}+2（x-2）lnx+4（0＜x＜1）$，則------------------（11分）
$F'（x）=-1+\frac{4}{x^2}+2lnx+\frac{2（x-2）}{x}=\frac{4}{x^2}-\frac{4}{x}+2lnx+1（0＜x＜1）$------（12分）
∴$F''（x）=-\frac{8}{x^3}+\frac{4}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{2（{x^2}+2x-4）}}{x^3}$，
∵0＜x＜1，
∴F''（x）＜0即F'（x）在（0，1）上是減函數，
∴F'（x）＞F'（1）=1＞0，
∴F（x）在（0，1）上是增函數，------------（13分）
∴F（x）＜F（1）=-1，即$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}＜-1$，
所以，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_2}+1＜0$．------------------------------------（14分）

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性的關系，利用導數求函數的最值，考查計算能力，屬于中檔題．