Question

3．已知函數(shù)f（x）=3^x-3^ax+b且$f（1）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{80}{9}$．
（1）求a，b的值；        
 （2）判斷f（x）的奇偶性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）由條件利用待定系數(shù)法求得a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)f（-x）=-f（x），從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x-3^ax+b，$f（1）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{80}{9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{1}{-3}^{a+b}=\frac{8}{3}}\\{{3}^{2}{-3}^{2a+b}=\frac{80}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{a+b}=\frac{1}{3}}\\{{3}^{2a+b}=\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，∴a=-1，b=0．
  （2）由（1）可得f（x）=3^x-3^-x，它的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
再根據(jù)f（-x）=3^-x-3^x=-f（3^x-3^-x）=-f（x），故該函數(shù)為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的奇偶性的判定，屬于基礎(chǔ)題．