函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅲ)對(duì)任意的x1∈(0,
1
2
),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2成立時(shí),求a的取值范圍.
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)令x=1,y=0,即可得到f(0);
(Ⅱ)由條件,令y=0,結(jié)合f(0),即可得到f(x)的表達(dá)式;
(Ⅲ)求出f(x1)+2在x1∈(0,
1
2
)上遞增,得到f(x1)+2∈(0,
3
4
),再對(duì)a討論,應(yīng)用恒成立思想:最大值不小于最小值,即可得到答案.
解答: 解:(Ⅰ)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2,
又f(1)=0,則f(0)=-2;
(Ⅱ)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
令y=0,得f(x)-f(0)=x(x+1).
由f(0)=-2,則f(x)=x2+x-2;
(Ⅲ)∵x1∈(0,
1
2
),
∴f(x1)+2=x12+x1=(x1+
1
2
2-
1
4
在x1∈(0,
1
2
)上遞增,
∴f(x1)+2∈(0,
3
4
),
要使任意的x1∈(0,
1
2
),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2成立,
當(dāng)a>1時(shí),logax2<loga
1
2
,顯然不成立;
當(dāng)0<a<1時(shí),logax2>loga
1
2
,則
0<a<1
loga
1
2
3
4
,解得
34
4
≤a<1.
綜上,a的取值范圍是[
34
4
,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用,考查解決抽象函數(shù)的常用方法:賦值法,考查不等式的恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={x|x>0},B={x|x2-(a+b)x+ab<0,a,b∈R},D=A∩B,函數(shù)f(x)=x3+x2+bx+1
(1)當(dāng)b=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a=b+1,且f(x)在D上有極小值時(shí),求b的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,不等式f(x)≤1對(duì)任意的x∈D恒成立,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B和一個(gè)定點(diǎn)M(x0,y0)均在拋物線y2=2px(p>0)上,設(shè)F為此拋物線的焦點(diǎn),Q為其對(duì)稱軸上一點(diǎn),若(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0,且|
FA
|,|
FM
|,|
FB
|成等差數(shù)列.
(1)求
OQ
的坐標(biāo);
(2)若|
OQ
|=3,|
FM
|=2,求|
AB
|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某校高三某班的一次測(cè)試成績(jī)的頻率分布表以及頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下,請(qǐng)根據(jù)此解答如下問(wèn)題:
(1)求班級(jí)的總?cè)藬?shù);
(2)將頻率分布表及頻率分布直方圖的空余位置補(bǔ)充完整;
(3)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100)之間的概率.
分組頻數(shù)頻率
[50,60) 0.08
[60,70)7 
[70,80)10 
[80,90)  
[90,100)2 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)K(0,-1)的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.
(Ⅰ)證明:點(diǎn)F在直線BD上;
(Ⅱ)設(shè)
FA
FB
=
8
9
,求∠DBK的平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

x2+ax-2
x2-x+1
<2恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知四棱錐的底面是正方形,側(cè)面都是高為
3
的等邊三角形,求這個(gè)四棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在三角形ABC中,已知AB=3,A=120°,△ABC的面積為
15
3
4
,則
BC
BA
的值=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于
 

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