已知兩個動點A、B和一個定點M(x0,y0)均在拋物線y2=2px(p>0)上,設(shè)F為此拋物線的焦點,Q為其對稱軸上一點,若(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0,且|
FA
|,|
FM
|,|
FB
|成等差數(shù)列.
(1)求
OQ
的坐標(biāo);
(2)若|
OQ
|=3,|
FM
|=2,求|
AB
|的取值范圍.
考點:平面向量數(shù)量積的運算,向量的模
專題:平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).利用焦半徑公式及其|
FA
|,|
FM
|,|
FB
|成等差數(shù)列可得:2|
FM
|=|
FB
|+|
FA
|
,得到2x0=x1+x2.由(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0,可得(
QA
+
QB
)•
AB
=0,設(shè)Q(m,0),得到(x1-m+x2-m,y1+y2)•(x2-x1,y2-y1)=0,可得x1+x2-2m+2p=0.可得m=x0+p.
(2)由|
OQ
|=3,可得p+x0=3.利用|
FM
|
=2,可得x0+
p
2
=2,聯(lián)立解得x0=1,p=2.y2=4x.x1+x2=2.取M(1,2).由QM⊥AB.可得kQMkAB=-1,kAB=1=
y1-y2
x1-x2
.|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2(4-4x1x2)

由0≤x1x2<1即可得出.
解答: 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
則|FA|=x1+
p
2
,|FB|=x2+
p
2
,|FM|=x0+
p
2

∵|
FA
|,|
FM
|,|
FB
|成等差數(shù)列.
∴2|
FM
|=|
FB
|+|
FA
|
,
2(x0+
p
2
)
=x1+
p
2
+x2+
p
2
,
∴2x0=x1+x2
∵(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0,
(
QA
+
QB
)•
AB
=0,
設(shè)Q(m,0),則(x1-m+x2-m,y1+y2)•(x2-x1,y2-y1)=0,
∴(x1+x2-2m)(x2-x1)+
y
2
2
-
y
2
1
=0,
∴(x1+x2-2m)(x2-x1)+2p(x2-x1)=0,
∵x1≠x2,
∴x1+x2-2m+2p=0.
∴m=x0+p
∴Q(p+x0,0).
OQ
=(p+x0,0).
(2)∵|
OQ
|=3,∴p+x0=3.
|
FM
|
=2,∴x0+
p
2
=2,
聯(lián)立解得x0=1,p=2.
∴y2=4x.x1+x2=2.
Q(3,0),取M(1,2).
kQM=-1.
由(1)可得QM⊥AB.
kQMkAB=-1,
∴kAB=1=
y1-y2
x1-x2

∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2(4-4x1x2)

∵x1,x2≥0,x1+x2=2>2
x1x2
,
∴0≤x1x2<1.
0<|AB|≤2
2

0<|AB|≤2
2
點評:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、弦長公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力和計算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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結(jié)果獎勵
1紅1白10元
1紅1黑5元
2黑2元
1白1黑不獲獎
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3
,求實數(shù)m的取值范圍.

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求值:
(1)log327+lg40+lg25-lne2 
(2)(
2
3
-2+(1-
2
0-(3
3
8
 
2
3

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1
2
),x2∈(0,
1
2
),都有f(x1)+2<logax2成立時,求a的取值范圍.

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個.

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