Question

設函數，a、b，x=a是的一個極大值點．

（1）若，求b的取值范圍；

（2）當a是給定的實常數，設是的3個極值點，問是否存在實數b，可找到，使得的某種排列（其中）依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（1）時，，

，……1分

令，，

可設是的兩個根，……………………………………2分

①當或時，則不是極值點，不合題意；

②當且時，由于是的極大值點，

故，即，故b的取值范圍是. ……5分

(2)，

令，

則，于是，假設是的兩個實根，且

由（1）可知，必有，且是的三個極值點，

則，. ……6分

假設存在及滿足題意，不妨只考慮公差大于零的情形，即：

①當排列為或，則，即時，[]

于是或

即

或……………………8分

②當排列為或，則或

(i)若，于是，

即兩邊平方得，

于是，從而，

此時………10分

(ii)若，于是，

即兩邊平方得，

于是，從而

此時

綜上所述，存在b滿足題意，當b=－a－3時，；當時，；時，.