Question

某輪船航行過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)u與其速度v的立方成正比．已知當(dāng)速度為10千米/小時(shí)，燃料費(fèi)10元/小時(shí)，其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)160元．設(shè)每千米航程成本為y．
（1）試用速度v表示輪船每千米航程成本y；
（2）輪船的速度為多少時(shí)，每千米航程成本最低？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入速度與每小時(shí)燃料費(fèi)的關(guān)系值求出比例系數(shù)即可；
（2）根據(jù)題設(shè)要求設(shè)出行駛總費(fèi)用與速度之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：（1）易知u=kv³，由10=k×10³，得k=

1

100

．
于是，每小時(shí)的費(fèi)用為

1

100

v3+160．而輪船航行1千米需用時(shí)

1

v

小時(shí)，所以每千米航程成本函數(shù)為：y=

1

v

(

1

100

v3+160)=

1

100

v2+

160

v

．
（2）求導(dǎo)得：y′=

1

50v2

(v3-8000)，令 y'=0，解得：v=20．
當(dāng)0＜v＜20時(shí)，y'＜0；當(dāng)v＞20時(shí)，y'＞0．
所以當(dāng)v=20時(shí)y有最小值，即：v=20時(shí)每千米航程成本最低．

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際應(yīng)用題，考查學(xué)生建立函數(shù)模型的能力，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究給定區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題，是高考的�？贾�識(shí)點(diǎn)．