Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f（B）=sinB+cosB+sinB•cosB+1的值域為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意得2b=a+c，利用余弦定理可得cosB=

3

8

（

a

c

+

c

a

）-

1

4

≥2×

3

8

-

1

4

=

1

2

，繼而可得0＜B≤

π

3

，令t=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），則sinB•cosB=

t2-1

2

，整理可得f（B）=h（t）=

1

2

（t+1）²，t∈（1，

2

]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
則cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3 4 a2+ 3 4 b2- 1 2 ac

2ac

=

3

8

（

a

c

+

c

a

）-

1

4

≥2×

3

8

-

1

4

=

1

2

，
則0＜B≤

π

3

．
令t=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），則sinB•cosB=

t2-1

2

，
∴sinB+cosB+sinB•cosB+1=t+

t2-1

2

+1=

1

2

（t+1）²，
∵0＜B≤

π

3

，
∴

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，
∴t∈（1，

2

]，
∴t+1∈（2，1+

2

]，
∴

1

2

（t+1）²∈（2，

3+2 2

2

]，
∴f（B）=sinB+cosB+sinB•cosB+1的值域為：（2，

3+2 2

2

]．
故答案為：（2，

3+2 2

2

]．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)間的平方關(guān)系與二倍角的正弦、輔助角公式的綜合應(yīng)用，突出換元思想與正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的考查，屬于難題．