Question

1．已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當a=2時，寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）問將a=2代入函數(shù)解析式，并將解析式化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，確定出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）先化簡函數(shù)解析式，之后判斷出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，從而結(jié)合a的取值范圍，分析函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值在哪個點處取得，再求得對應(yīng)的邊界值，最后將函數(shù)的最大值表示為關(guān)于a的分段函數(shù)．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}-1，x≥2}\\{-（x-1）^{2}+1，x＜2}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，1]，或[2，+∞）．
（2）∵a＞0，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
可知：函數(shù)f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}]$單調(diào)遞增，在$[\frac{a}{2}，a]$單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當$\frac{a}{2}$≥2即a≥4時，f_max（x）=f（2）=2a-4．
當$0＜a≤4（\sqrt{2}-1）$時，f_max（x）=f（2）=4-2a．
當$4（\sqrt{2}-1）$＜a＜4時，f_max（x）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．