分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可;
(Ⅱ)法一:通過討論k的范圍,集合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的零點個數(shù)即可;法二:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出圖象,判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可.
解答 解:(Ⅰ)由題意得f′(x)≥0在(0,1]上恒成立…(1分)
∵f′(x)=kx-2x且x∈(0,1],
∴f′(x)≥0?k≥2x2 …(2分)
∵y=2x2在(0,1]上遞增,
∴(2x2)max=2,…(3分)
∴k的取值范圍是[2,+∞)…(4分)
(Ⅱ)解法1:(1)當k=0時,f(x)=-x2(x>0)沒有零點;…(5分)
(2)當k≠0時,f′(x)=k−2x2x(x>0)…(6分)
∴k<0時,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
且x→0且x>0時,f(x)→+∞;x→+∞時,f(x)→-∞,因此f(x)有一個零點;…(7分)
又k>0時有
x | (0,√k2) | √k2 | (√k2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - |
f(x) | 遞增 | 極大值12e | 遞減 |
x | (0,√e) | √e | (√e,+∞) |
φ′(x) | + | 0 | - |
φ(x) | 遞增 | 極大值12e | 遞減 |
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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