Question

在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC，則直線OD與平面PBC所成角的正弦值（　�。�

• A、

  21

  6

• B、

  8 3

  3

• C、

  210

  60

• D、

  210

  30

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：首先利用三垂線定理作出直線OD與平面PBC所成角，就是取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，得到OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可．

解答： 解：∵AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC．取BC中點E，連接PE，則BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．設(shè)AB=BC=1，PA=2，在Rt△POC中，PO=

14

2

，在Rt△POC中，D是PC的中點，PC=2，
∴OD=1，在Rt△POE中，OE=

1

2

，PE=

15

2

，OF=

PO•OE

PE

=

210

30

，
在Rt△ODF中，sin∠ODF=

OF

OD

=

210

30

故答案為：

210

30

．

點評：本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．