Question

設(shè)a∈R，若x＞0時(shí)均有[（a-1）x-1](x2-

3

2

x-1)≥0，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：因?yàn)閤＞0，分類討論，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整個區(qū)間上，我們可以將其分成兩個區(qū)間，在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，代入不等式，x＞0不等式明顯不成立．
（2）a≠1，構(gòu)造函數(shù)y₁=（a-1）x-1，y₂=(x2-

3

2

x-1)，它們都過定點(diǎn)P（0，-1）．
考查函數(shù)y₁=（a-1）x-1，令y=0，得M（

1

a-1

，0），因?yàn)閤＞0，不等式成立；
∴a＞1；
考查函數(shù)y₂=x ²-

3

2

x-1，因?yàn)閤＞0時(shí)均有[（a-1）x-1](x2-

3

2

x-1)≥0，顯然此函數(shù)過點(diǎn)M（

1

a-1

，0），代入得：(

1

a-1

)2-

3

2

×

1

a-1

-1=0，
解之得：a=

3

2

，或a=0（舍去）．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．