Question

是否存在常數(shù)a、b、c使等式1²＋2²＋3²＋…＋n²＋(n－1)²＋…＋2²＋1²＝an(bn²＋c)對于一切n∈N_＋都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

　假設(shè)存在a、b、c使1²＋2²＋3²＋…＋n²＋(n－1)²＋…＋2²＋1²＝an(bn²＋c)對于一切n∈N_＋都成立．

當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1；

當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6；

當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19.

解方程組

證明如下：

①當(dāng)n＝1時(shí)，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立．

②假設(shè)n＝k(k∈N_＋)時(shí)等式成立，

即1²＋2²＋3²＋…＋k²＋(k－1)²＋…＋2²＋1²

＝k(2k²＋1)；

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

1²＋2²＋3²＋…＋k²＋(k＋1)²＋k²＋(k－1)²＋…＋2²＋1²

＝k(2k²＋1)＋(k＋1)²＋k²

＝k(2k²＋3k＋1)＋(k＋1)²

＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)²

＝(k＋1)(2k²＋4k＋3)

＝(k＋1)[2(k＋1)²＋1]．

即n＝k＋1時(shí)，等式成立．

因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對一切n∈N_＋都成立．