Question

17．在圓O：x²+y²=4上任取一點P，過點P作y軸額垂線段PQ，Q為垂足．當P在圓上運動時，線段PQ中點G的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直線l與圓O交于M，N兩點，與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，若|MN|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，試判斷∠EOF是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設G（x，y），P（x₀，y₀），所以Q（0，y₀），由中點坐標公式得x₀=2x，y₀=y，由P（x₀，y₀）在圓O上，能求出C的方程．
（Ⅱ）求出點O到直線l的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，當直線l斜率不存在時，∠EOF=90°；當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx+m，求出5m²=4（k²+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$得：（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，向量數(shù)量積求出∠EOF=90°．由此得到∠EOF=90°為定值．

解答 解：（Ⅰ）設G（x，y），P（x₀，y₀），所以Q（0，y₀），…（1分）
因為點G是線段PQ中點，所以x₀=2x，y₀=y，…..…..…（2分）
又P（x₀，y₀）在圓O上，所以（2x）²+y²=4，
即C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）設點O到直線l的距離為d，則d=$\sqrt{4-（\frac{|MN|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（5分）
?當直線l斜率不存在時，直線l方程：x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入橢圓方程得：y=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
不妨設E（$\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}$），F(xiàn)（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），此時∠EOF=90°，…（6分）
?當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx+m，得kx-y+m=0，
所以d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，所以5m²=4（k²+1），…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$得：（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0，…（8分）
$△=4{m}^{2}{k}^{2}-4（{m}^{2}-4）（{k}^{2}+4）=16（{k}^{2}-{m}^{2}+4）=\frac{16}{5}$（k²+16）＞0，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），所以${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2mk}{4+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$+mk$\frac{-2mk}{4+{k}^{2}}$+m²=$\frac{5{m}^{2}-4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+4}$，…（11分）
把5m²=4（k²+1）代入上式得：$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=0，所以OE⊥OF，即∠EOF=90°．
綜上所述∠EOF=90°為定值．…（12分）

點評 本題考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系，弦長公式，點到線的距離公式，向量數(shù)量積，考查推理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法．