Question

中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)P（ 3，-4

2

 ）、Q（ 

9

4

，5 ）兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)F₁、F₂是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是雙曲線(xiàn)上位于第一象限的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠F₁MF₂=60°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）待定系數(shù)法，即可求得所求方程；
（2）設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，由雙曲線(xiàn)的定義及余弦定理可得：

m+n-mn=100 n-m=8

，解得m、n，進(jìn)而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為Ax²-By²=1，則

9A-32B=1 81 16 A-25B=1

，
解得：A=-

1

9

，B=-

1

16

所以所求方程為

y2

16

-

x2

9

=1．
（2）如圖，設(shè)|MF₁|=m，|MF₂|=n，則由雙曲線(xiàn)的定義及余弦定理可得：

m+n-mn=100 n-m=8

，解得：m=2

13

-4，n=2

13

+4
設(shè)M（x，y），則由

y2 16 - x2 9 =1 x2+(y-5)2 =2 13 -4

，解得：x=±

9 3

5

，y=

8 13

5

．
由于點(diǎn)M在第一象限，故M（

9 3

5

，

8 13

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，考查學(xué)生余弦定理的應(yīng)用能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的努力，屬于中檔題．