【題目】如圖，菱形與正所在平面互相垂直，平面，，.

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明過程詳見解析（2）

【解析】

（1）過點(diǎn)作于，由面面垂直的性質(zhì)可知平面，又平面，可得，即四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而得到線面平行；

（2）分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

解：（1）如圖，過點(diǎn)作于，連接EH，∴.

∵平面平面，平面，

平面平面于 ∴ 平面.

又∵平面，.∴，

∴四邊形為平行四邊形. ∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）連接.由（1）得為中點(diǎn)，又，為等邊三角形，

∴.分別以，，為軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

，， ，

設(shè)平面的法向量為.

由，得

令，得.

，

直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。

（I）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。

（II）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，

（1）列出所有可能的抽取結(jié)果；

（2）求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率。

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【題目】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）

（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？

（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：

表1：

生產(chǎn)能力分組

人數(shù)

4

8

x

5

3

表2：

生產(chǎn)能力分組

人數(shù)

6

y

36

18

①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更��？（不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）

②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖　　圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

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【題目】已知函數(shù)

（1）求曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;

（2）求經(jīng)過點(diǎn)A（1,3）的曲線的切線方程.

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【題目】各國醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制某種病毒疫苗，現(xiàn)有G，E，F三個(gè)獨(dú)立的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)，它們?cè)谝欢〞r(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是.求：

（1）他們都研制出疫苗的概率；

（2）他們都失敗的概率；

（3）他們能夠研制出疫苗的概率.

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【題目】企業(yè)需為員工繳納社會(huì)保險(xiǎn)，繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是根據(jù)職工本人上一年度月平均工資（單位：元）的繳納，

年份

2014

2015

2016

2017

2018

t

1

2

3

4

5

y

270

330

390

460

550

某企業(yè)員工甲在2014年至2018年各年中每月所撒納的養(yǎng)老保險(xiǎn)數(shù)額y（單位：元）與年份序號(hào)t的統(tǒng)計(jì)如下表：

（1）求出t關(guān)于t的線性回歸方程；

（2）試預(yù)測(cè)2019年該員工的月平均工資為多少元？

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

（注：，，其中）

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【題目】《九章算術(shù)》給出求羨除體積的“術(shù)”是：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“廣”指羨除的三條平行側(cè)棱的長，“深”指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離，“袤”指這兩條側(cè)棱所在平行線之間的距離，用現(xiàn)代語文描述：在羨除中，，，，，兩條平行線與間的距離為，直線到平面的距離為，則該羨除的體積為.已知某羨除的三視圖如圖所示，則該羨除的體積為

A. B. C. D.

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【題目】已知圓，定點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程;

（2）若過定點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），且滿足，求的取值范圍.

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【題目】對(duì)數(shù)函數(shù)g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）互為反函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=3x，其反函數(shù)為y=g（x）．

（Ⅰ）若函數(shù)g（kx2+2x+1）的定義域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對(duì)任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的上界．若函數(shù)h（x）=，當(dāng)m≠0時(shí)，探求函數(shù)h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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