Question

【題目】對(duì)數(shù)函數(shù)g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）互為反函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=3x，其反函數(shù)為y=g（x）．

（Ⅰ）若函數(shù)g（kx2+2x+1）的定義域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對(duì)任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的上界．若函數(shù)h（x）=，當(dāng)m≠0時(shí)，探求函數(shù)h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）因?yàn)?/span>g（x）=1ogax與f（x）=3x，互為反函數(shù)，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定義域?yàn)?/span>R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范圍；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化簡得x1x2=1，4x1+x2=4x1+，利用雙勾函數(shù)求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+，分m＞0和m＜0分別求出h（x）的取值范圍，然后討論其上下界.

（Ⅰ）由題意得g（x）=log3x，

因?yàn)?/span>g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定義域?yàn)?/span>R，

所以kx2+2x+1＞0恒成立，

當(dāng)k=0時(shí)不滿足條件，

當(dāng)k≠0時(shí)，若不等式恒成立，

則，即，

解得k＞1；

（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，

因?yàn)?/span>0＜x1＜x2，

所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，

所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，

所以x1x2=1，

所以則4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，

因?yàn)楹瘮?shù)y=4x+在（0，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x1=時(shí)，4x1+x2取得最小值為4．

（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），

（i）當(dāng)m＞0，1+m3x＞1，則h（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，

所以≤h（x）≤，

①若||≥||，即m∈（0，]時(shí)，存在上界M，M∈[||，+∞），

②若||＜||，即m∈（，+∞）時(shí)，存在上界M，M∈[||，+∞），

（ii）當(dāng)m＜0時(shí)，

①若－＜m＜0時(shí)，h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），

②若m=－時(shí)，h（x）=－1+在[0，1]上單調(diào)遞增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．

③若－1＜m＜－時(shí)，h（x）在[0，log3（－））上單調(diào)遞增，h（x）在（log3（－），1]上單調(diào)遞增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，

④若m=－1，h（x）=－1+在（0，1]上單調(diào)遞增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界

⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；

綜上所述，當(dāng)m＜－1時(shí)，存在上界M，M∈[||，+∞），

當(dāng)－1≤m≤－時(shí)，不存在上界，

當(dāng)－＜m＜0時(shí)，存在上界M，M∈[，+∞），

當(dāng)m∈（0，]時(shí)，存在上界M，M∈[||，+∞），

當(dāng)m∈（，+∞）時(shí)，存在上界M，M∈[||，+∞）．