【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.

（2）曲線，是否相交？若相交，請求出公共弦長；若不相交，請說明理由.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題（Ⅰ）參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)即可，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用兩者坐標(biāo)之間的關(guān)系互化，此類問題一般較為容易；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，兩曲線都是圓，判斷兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距與兩半徑大小關(guān)系判斷即可，兩圓相交，公共弦和易求.

試題解析：（Ⅰ）由消去參數(shù)，得的普通方程為：；

由，得，化為直角坐標(biāo)方程為即

（Ⅱ）∵圓的圓心為，圓的圓心為

∴，∴兩圓相交

設(shè)相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段

∴

∴∴公共弦長為

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【題目】給定公差大于0的有限正整數(shù)等差數(shù)列，其中，為質(zhì)數(shù)．甲、乙兩人輪流從個石子中取石子，規(guī)定：每次每人可取個石子，取走的石子不再放回，甲先取，取到最后一個石子者為勝．試問：誰有必勝策略？

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【題目】已知函數(shù)，函數(shù)．

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（Ⅱ）當(dāng)時，證明：對一切的，都有恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時，函數(shù)，有最小值，記的最小值為，證明：．

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（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，已知橢圓C：的離心率為，并且橢圓經(jīng)過點P(1，)，直線l的方程為x＝4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知橢圓內(nèi)一點E(1，0)，過點E作一條斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點，交直線l于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

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【題目】某種常見疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型.為了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡（以下簡稱初次患病年齡）的關(guān)系，在甲、乙兩個地區(qū)隨機抽取100名患者調(diào)查其疾病類型及初次患病年齡，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）從Ⅰ型疾病患者中隨機抽取1人，估計其初次患病年齡小于40歲的概率；

（2）記“初次患病年齡在的患者為“低齡患者”，初次患病年齡在的患者為“高齡患者”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解決以下問題：

將以下兩個列聯(lián)表補充完整，并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個變量中哪個變量與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）

（ii）記（i）中與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為，問：是否有99.9%的把握認為“該疾病的類型與有關(guān)？”

附：

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的普通方程為，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（I）求的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程；

（II）射線與交于異于極點的點,與的交點為,求.

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