過(guò)橢圓+
=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,已知
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,求橢圓的方程.
解:(1)∵A(-a,0),設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1).
令x=0,則y=2a,∴C(0,2a),
∴x1+a=
(-x1),y1=
(2a-y1),
整理,得x1=-a,y1=
a.
∵B點(diǎn)在橢圓上,
∴
=
,
∴=
,即1-e2=
,
∴e=.
(2)∵=
,可設(shè)b2=3t,a2=4t,
∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0.
由得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.
∵動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,
∴Δ=0,即64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t.
設(shè)P(x1,y1),
又Q(4,4k+m),x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,
∴·(-3,-(4k+m))=0恒成立.
整理,得3+4k2=m2,
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立.
故t=1,所求橢圓方程為+
=1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知F1,F2分別是橢圓+
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),點(diǎn)B也在橢圓上,且滿足
+
=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),
=0,若橢圓的離心率等于
,則直線AB的方程是( )
A.y=x B.y=-
x
C.y=-x D.y=
x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知點(diǎn)F為橢圓C:+y2=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,3),則|PQ|+|PF|取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知兩定點(diǎn)A(-2,0)和B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=x+3上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓+
=1(a>b>0)上的任意一點(diǎn),若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,且cos α=
,sin(α+β)=
,則此橢圓的離心率為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=2x2-xf′(2),則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和
滿足:
,等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,公
比為,且
.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求證:
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