【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：經(jīng)過點.設(shè)橢圓的左頂點為，右焦點為，右準(zhǔn)線與軸交于點，且為線段的中點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點的直線與橢圓相交于另一點（在軸上方），直線與橢圓相交于另一點，且直線與垂直，求直線的斜率.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先得，，，由為的中點，橢圓過點，列出關(guān)系式，求出，，即可得出橢圓方程；

（2）先由題意確定直線的斜率必存在且大于0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與題中條件，即可求出結(jié)果.

（1）因為，，，且為的中點，

所以，則.

即，所以，.

因為點在橢圓上，

所以，

又因為，所以，則，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意直線的斜率必存在且大于0，

設(shè)直線的方程為：.

代入橢圓方程并化簡得：，

因為，

得，，

當(dāng)時，的斜率不存在，此時不符合題意.

當(dāng)時，直線的方程為：，

因為，所以直線的方程為：，

兩直線聯(lián)立解得：，因為在橢圓上，

所以，化簡得：，即，

因為，所以，

此時.

直線的斜率為.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（參考數(shù)據(jù)：；）

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