Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁B與y軸相交于點(diǎn)D．若AD⊥F₁B，則橢圓C的離心率等于（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  2

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)條件分別求出A，B，D的坐標(biāo)，利用AD⊥F₁B，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論

解答： 解：不妨假設(shè)橢圓中的a=1，則F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
當(dāng)x=c時(shí)，由

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

=b²，即A（c，b²），
B（c，-b²），
設(shè)D（0，m），∵F₁，D，B三點(diǎn)共線，
∴

m

c

=

b2

-2c

，解得m=-

b2

2

，即D（0，-

b2

2

），
∴若AD⊥F₁B，
則k_AD•k_F1B=-1，
即

b2+ b2 2

c

•

-b2

-c-c

=-1，
即3b⁴=4c²，
則

3

b²=2c=

3

（1-c²）=2c，
即

3

c²+2c-

3

=0，
解得c=

-2± 4+4× 3 × 3

2 3

=

-2±4

2 3

，
則c=

2

2 3

=

3

3

，
∵a=1，
∴離心率e=

c

a

=

3

3

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓離心率的求解，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線垂直與斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)算量較大．為了方便，可以先確定一個(gè)參數(shù)的值．