Question

對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{a_n}，設(shè)b_n為a₁，a₂，…，a_n（n=1，2，…，m）中的最大值，稱數(shù)列{b_n}是{a_n}的控制數(shù)列．例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7．
（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列{a_n}的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的{a_n}；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是{a_n}的控制數(shù)列，滿足a_n+b_m-n+1=C（C為常數(shù)，n=1，2，…，m）．
證明：b_n=a_n（n=1，2，…，m）．
（Ⅲ）考慮正整數(shù)1，2，…，m的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{c_n}．是否存在數(shù)列{c_n}，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列{c_n}的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得數(shù)列{a_n}為：2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6；
（Ⅱ）依題意可得b_n+1≥b_n，從而可得a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，整理即證得結(jié)論；
（Ⅲ）確定e_m=m，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：數(shù)列{a_n}有6個(gè)，分別為2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6．…（3分）
（Ⅱ）證明：∵b_n=max{a₁，a₂，…，a_n}，b_n+1=max{a₁，a₂，…，a_n+1}，
∴b_n+1≥b_n…6分
∵a_n+b_m-n+1=C，a_n+1+b_m-n=C，
∴a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，即a_n+1≥a_n，…8分
∴b_n=a_n．…（6分）
（Ⅲ）解：設(shè)數(shù)列{c_n}的控制數(shù)列為{e_n}，
因?yàn)閑_m為前m個(gè)正整數(shù)中最大的一個(gè)，所以e_m=m．    …（7分）
設(shè)公差為d，
因?yàn)閑_n+1≥e_n，所以d≥0．且d∈N       …（8分）
（1）當(dāng)d=0時(shí)，{e_n}為常數(shù)列：m，m，…，m，…（9分）
此時(shí)數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列，共有

A

m-1 m-1

個(gè)數(shù)列；  …（10分）
（2）當(dāng)d=1時(shí)，符合條件的數(shù)列{e_n}只能是1，2，…，m，
此時(shí)數(shù)列{c_n}是1，2，…，m，有1個(gè)；    …（11分）
（3）當(dāng)d≥2時(shí)，∵e_m=e₁+（m-1）d≥1+2（m-1）=m+m-1，
又m＞1，∴e_m＞m，．這與e_m=m矛盾！所以此時(shí){e_n}不存在．…（12分）
綜上滿足條件的數(shù)列{c_n}的個(gè)數(shù)為

A

m-1 m-1

個(gè)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查分析，對(duì)抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，是難題．