Question

如圖，P是棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁對角線AC₁上一動點，若平面PBD⊥平面ABCD，則三棱錐P-ABD的體積為

16

3

．

Answer 1

分析：利用正方體的性質、線面平行、垂直的性質、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答：解：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OP．
由正方體可得：CC₁∥平面BDD₁B₁，∴CC₁∥OP，
∵AO=OC，∴AP=PC₁且OP=

1

2

CC1=2．
∵CC₁⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即OP是三棱錐P-ABD的高．
∵S△ABD=

1

2

×4×4=8．
∴V_P-ABD=

1

3

S△ABD×OP=

1

3

×8×2=

16

3

．
故答案為

16

3

．

點評：本題綜合考查了正方體的性質、線面平行、垂直的性質、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式，熟練掌握它們是解題的基礎．