Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且過(guò)點(diǎn)P（

2

，

2

）．直線(xiàn)l過(guò)F₂且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用橢圓的定義，即可得到a，進(jìn)而得到b，求得橢圓方程，再設(shè)直線(xiàn)方程為l：y=k（x-

3

），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角，由斜率公式，化簡(jiǎn)整理并解方程，即可得到k．

解答： 解：橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且過(guò)點(diǎn)P（

2

，

2

），
則c=

3

，2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 + 3 )2+( 2 )2

+

( 2 - 3 )2+( 2 )2

=

7+2 6

+

7-2 6

=

6

+1+

6

-1=2

6

，
則a=

6

，b=

a2-c2

=

3

，
則橢圓為

x2

6

+

y2

3

=1，
設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x-

3

），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（1+2k²）x²-4

3

k²x+6k²-6=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4 3 k2

1+2k2

，x₁x₂=

6k2-6

1+2k2

，①
由于以線(xiàn)段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則PA⊥PB，
即有（x₁-

2

）（x₂-

2

）+（y₁-

2

）（y₂-

2

）=0，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

），y₁y₂=k²（x₁x₂+3-

3

（x₁+x₂）），
即有（1+k²）x₁x₂-（x₁+x₂）（

2

+

3

k2+

2

k）+4+3k²+2

6

k=0，
將①代入上式，化簡(jiǎn)可得，（11-4

6

）k²+2

6

k-2=0，
解得，k=-2-

6

或

2+3 6

25

，
則直線(xiàn)l：y=（-2-

6

）（x-

3

）或y=

2+3 6

25

（x-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查直線(xiàn)的斜率公式及運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理和解方程的能力，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題和易錯(cuò)題．